Answer
$A^{-1}=\begin{bmatrix}
8 & -29 & 3\\
-5 & 19 & -2\\
2 & -8 & 1
\end{bmatrix}$
Work Step by Step
Given: $A=\begin{bmatrix}
3 & 5 & 1\\
1& 2 & 1\\
2 & 6 & 7
\end{bmatrix}$
Using the Gauss-Jordan method we get:
$\begin{bmatrix}
3 & 5 & 1 | 1 & 0 & 0\\
1& 2 & 1 | 0 & 1 & 0\\
2 & 6 & 7 | 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \approx^1 \begin{bmatrix}
1& 2 & 1 | 0 & 1 & 0\\
3 & 5 & 1 | 1 & 0 & 0\\
2 & 6 & 7 | 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \approx^2 \begin{bmatrix}
1& 2 & 1 | 0 & 1& 0\\
0 & -1 & -2| 1 & -3 & 0\\
0 & 2 & 5 | 0 & -2 & 1
\end{bmatrix} \approx^3 \begin{bmatrix}
1& 2 & 1 | 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 2| -1 & 3 & 0\\
0 & 2 & 5 | 0 & -2 & 1
\end{bmatrix} \approx^4 \begin{bmatrix}
1& 2 & 1 | 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 2| -1& 3 & 0\\
0 & 0 & 1 | 2 & -8 & 1
\end{bmatrix} \approx^5 \begin{bmatrix}
1& 2 & 0| -2 & 9 & -1\\
0 & 1 & 0| -5 & 19 & -2\\
0 & 0& 1 | 2 & -8 & 1
\end{bmatrix} \approx^6 \begin{bmatrix}
1& 0 & 0| 8& -29 & 3\\
0 & 1 & 0|-5 & 19 & -2\\
0 & 0& 1 | 2 & -8 & 1
\end{bmatrix}$
$1.P_{12}$
$2. A_{12}(-3),A_{13}(-2)$
$3. M_2(-1)$
$4. A_{23}(-2)$
$5.A_{32}(-2),A_{31}(-1)$
$6. A_{21}(-2)$
$\rightarrow A^{-1}=\begin{bmatrix}
8 & -29 & 3\\
-5 & 19 & -2\\
2 & -8 & 1
\end{bmatrix}$
Hence $A^{-1}$ exists. Check the answer by verifying that $AA^{-1}=I_n$
$AA^{-1}=\begin{bmatrix}
3 & 5 & 1\\
1& 2 & 1\\
2 & 6 & 7
\end{bmatrix}. \begin{bmatrix}
8& -29 & 3\\
-5 & 19 & -2\\
2 & -8 & 1
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
1& 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0& 1
\end{bmatrix}=I_3$
