Answer
Let $m$ be a positive integer. From the proof below, we conclude that $a\equiv b \mod{m}$ if $a\mod{m}=b\mod{m}$.
Work Step by Step
Let $m$ be a positive integer s.t. $a\mod{m}=b\mod{m}$ for some other integer $b$. Then for $k\in \mathbb{Z}$, $a\mod{m}=b\mod{m}\cdot k$. Equivalently, for $j\in \mathbb{Z}$, $a\mod{m}\cdot j=b\mod{m}$. Thus $a\mod{m}\cdot j=b\mod{m}\cdot k$. $aj\mod{m}=a\mod{m}j\mod{m}=a(j\mod{m})=a\mod{m}$
$bk\mod{m}=b\mod{m}k\mod{m}=b(k\mod{m})=b\mod{m}$.
Thus, $a\mod{m}=b\mod{m}$.
