Answer
$f^{-1}(x)=\dfrac{5-2x}{x}$
$D_f=(-\infty,-2)\cup(-2,\infty)$
$R_f=(-\infty,0)\cup(0,\infty)$
$D_{f^{-1}}=(-\infty,0)\cup(0,\infty)$
$R_{f^{-1}}=(-\infty,-2)\cup(-2,\infty)$
Work Step by Step
We are given the function:
$f(x)=\dfrac{5}{x+2}$
Determine $f^{-1}$:
$y=\dfrac{5}{x+2}$
$x=\dfrac{5}{y+2}$
$y+2=\dfrac{5}{x}$
$y=\dfrac{5}{x}-2$
$f^{-1}(x)=\dfrac{5-2x}{x}$
Determine the domain $D_f$ and the range $R_f$ of $f$:
$D_f=(-\infty,-2)\cup(-2,\infty)$
$R_f=(-\infty,0)\cup(0,\infty)$
Determine the domain $D_{f^{-1}}$ and the range $R_{f^{-1}}$ of $f^{-1}$:
$D_{f^{-1}}=(-\infty,0)\cup(0,\infty)$
$R_{f^{-1}}=(-\infty,-2)\cup(-2,\infty)$
