Answer
$A_{0}$=$\frac{1}{2}$
$A_{1}$=$\frac{1}{2}$ -$\frac{(x-2)}{4}$
$A_{2}$=$\frac{1}{2}$ -$\frac{(x-2)}{4}$+$\frac{(x-2)^{2}}{8}$
$A_{3}$=$\frac{1}{2}$ -$\frac{(x-2)}{4}$+$\frac{(x-2)^{2}}{8}$-$\frac{(x-2)^{3}}{16}$
Work Step by Step
The Taylor polynomial is defined for the function f(x) at the point a of order n as:
An(x)=f(a)+f′(a)$\frac{x-a}{1!}$+f′′(a)$\frac{(x-a)^{2}}{2!}$+....+$f^{n}(a)$$\frac{(x-a)^{n}}{n!}$
Now we get,
f(x)=$\frac{1}{x}$
f(2)=$\frac{1}{2}$
f′(2)=$\frac{-1}{x^{2}}$ =$\frac{-1}{4}$
f′′(2)=$\frac{2}{x^{3}}$ =$\frac{1}{4}$
f′′′(2)=$\frac{-6}{x^{4}}$ =$\frac{-3}{8}$
This implies,
$A_{0}$=$\frac{1}{2}$
$A_{1}$=$\frac{1}{2}$ -$\frac{(x-2)}{4}$
$A_{2}$=$\frac{1}{2}$ -$\frac{(x-2)}{4}$+$\frac{(x-2)^{2}}{8}$
$A_{3}$=$\frac{1}{2}$ -$\frac{(x-2)}{4}$+$\frac{(x-2)^{2}}{8}$-$\frac{(x-2)^{3}}{16}$
