Answer
$$ - \frac{1}{3}\left( {{x^2} - x} \right){e^{ - 3x + 1}} - \frac{1}{9}\left( {2x - 1} \right){e^{ - 3x + 1}} - \frac{2}{{27}}{e^{ - 3x + 1}} + C$$
Work Step by Step
$$\eqalign{
& \int {\left( {{x^2} - x} \right){e^{ - 3x + 1}}} dx \cr
& {\text{Integrate by parts}} \cr
& {\text{Let }}u = {x^2} - x,{\text{ }}du = \left( {2x - 1} \right)dx{\text{ }} \cr
& dv = {e^{ - 3x + 1}}dx,{\text{ }}v = - \frac{1}{3}{e^{ - 3x + 1}} \cr
& {\text{Using the formula of integration by parts}} \cr
& \int u dv = uv - \int v du \cr
& = - \frac{1}{3}\left( {{x^2} - x} \right){e^{ - 3x + 1}} + \frac{1}{3}\int {\left( {2x - 1} \right)} {e^{ - 3x + 1}}dx{\text{ }}\left( {\bf{1}} \right) \cr
& {\text{Integrate by parts }}\frac{1}{3}\int {\left( {2x - 1} \right)} {e^{ - 3x + 1}}dx \cr
& {\text{Let }}u = 2x - 1,{\text{ }}du = 2dx{\text{ }} \cr
& dv = {e^{ - 3x + 1}}dx,{\text{ }}v = - \frac{1}{3}{e^{ - 3x + 1}} \cr
& \frac{1}{3}\int {\left( {2x - 1} \right)} {e^{ - 3x + 1}}dx = \frac{1}{3}\left( { - \frac{1}{3}\left( {2x - 1} \right){e^{ - 3x + 1}} + \frac{2}{3}\int {{e^{ - 3x + 1}}} dx} \right) \cr
& \frac{1}{3}\int {\left( {2x - 1} \right)} {e^{ - 3x + 1}}dx = - \frac{1}{9}\left( {2x - 1} \right){e^{ - 3x + 1}} + \frac{2}{9}\int {{e^{ - 3x + 1}}} dx \cr
& \frac{1}{3}\int {\left( {2x - 1} \right)} {e^{ - 3x + 1}}dx = - \frac{1}{9}\left( {2x - 1} \right){e^{ - 3x + 1}} - \frac{2}{{27}}{e^{ - 3x + 1}} + C \cr
& {\text{Substituting the previous result into }}\left( {\bf{1}} \right) \cr
& = - \frac{1}{3}\left( {{x^2} - x} \right){e^{ - 3x + 1}} - \frac{1}{9}\left( {2x - 1} \right){e^{ - 3x + 1}} - \frac{2}{{27}}{e^{ - 3x + 1}} + C \cr} $$
