Answer
\( Q(0, 4, 6) \) no está en la superficie.
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Para determinar si los puntos \( P \) y \( Q \) están en la superficie dada por la parametrización \(\mathbf{r}(u, v) = \langle u + v, u - 2v, 3 + u - v \rangle\), necesitamos verificar si estos puntos pueden ser expresados como \(\mathbf{r}(u, v)\) para algún par \((u, v)\).
### Punto \( P(4, -5, 1) \)
Primero, igualamos \( \mathbf{r}(u, v) \) con las coordenadas de \( P \):
\[ \mathbf{r}(u, v) = \langle u + v, u - 2v, 3 + u - v \rangle = \langle 4, -5, 1 \rangle \]
Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones:
1. \( u + v = 4 \)
2. \( u - 2v = -5 \)
3. \( 3 + u - v = 1 \)
Primero resolvemos las ecuaciones 1 y 2. De la ecuación 1 tenemos:
\[ v = 4 - u \]
Sustituimos en la ecuación 2:
\[ u - 2(4 - u) = -5 \]
\[ u - 8 + 2u = -5 \]
\[ 3u - 8 = -5 \]
\[ 3u = 3 \]
\[ u = 1 \]
Ahora sustituimos \( u = 1 \) en la ecuación \( v = 4 - u \):
\[ v = 4 - 1 \]
\[ v = 3 \]
Ahora, verificamos con la tercera ecuación:
\[ 3 + u - v = 1 \]
\[ 3 + 1 - 3 = 1 \]
\[ 1 = 1 \]
Entonces, \( P(4, -5, 1) \) está en la superficie.
### Punto \( Q(0, 4, 6) \)
Igualamos \( \mathbf{r}(u, v) \) con las coordenadas de \( Q \):
\[ \mathbf{r}(u, v) = \langle u + v, u - 2v, 3 + u - v \rangle = \langle 0, 4, 6 \rangle \]
Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones:
1. \( u + v = 0 \)
2. \( u - 2v = 4 \)
3. \( 3 + u - v = 6 \)
Primero resolvemos las ecuaciones 1 y 2. De la ecuación 1 tenemos:
\[ u = -v \]
Sustituimos en la ecuación 2:
\[ -v - 2v = 4 \]
\[ -3v = 4 \]
\[ v = -\frac{4}{3} \]
Y por tanto:
\[ u = -v = \frac{4}{3} \]
Ahora verificamos con la tercera ecuación:
\[ 3 + u - v = 6 \]
\[ 3 + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 6 \]
\[ 3 + \frac{8}{3} = 6 \]
\[ \frac{9}{3} + \frac{8}{3} = 6 \]
\[ \frac{17}{3} = 6 \]
La tercera ecuación no se cumple, por lo tanto, \( Q(0, 4, 6) \) no está en la superficie.
