Answer
$$\frac{1}{3} x^2\left(1+x^2\right)^{3 / 2}-\frac{2}{15}\left(1+x^2\right)^{5 / 2}+C$$
Work Step by Step
Given
$$\int x^3 \sqrt{1+x^2} d x$$
\begin{aligned}
u&=\frac{1}{2} x^2,\ \ \ \ \ \ d v=2 x \sqrt{1+x^2} d x \\
d u&=x d x, \ \ \ \ \ \ \ v=\frac{2}{3}\left(1+x^2\right)^{3 / 2}
\end{aligned}
Then
\begin{aligned}
\int x^3 \sqrt{1+x^2} d x &=uv-\int vdu\\
&=\frac{1}{2} x^2\left[\frac{2}{3}\left(1+x^2\right)^{3 / 2}\right]-\frac{2}{3} \int x\left(1+x^2\right)^{3 / 2} d x \\
&=\frac{1}{3} x^2\left(1+x^2\right)^{3 / 2}-\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}\left(1+x^2\right)^{5 / 2}+C \\
&=\frac{1}{3} x^2\left(1+x^2\right)^{3 / 2}-\frac{2}{15}\left(1+x^2\right)^{5 / 2}+C
\end{aligned}
