Answer
$-\ln(2)$
Work Step by Step
$$\sum_{n=2}^{\infty}\ln\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)$$
$$=\sum_{n=2}^{\infty}\ln\left(\frac{n^{2}-1}{n^{2}}\right)$$
$$=\sum_{n=2}^{\infty}\ln(n^{2}-1)-\ln(n^{2})$$
$$=\sum_{n=2}^{\infty}\ln(n-1)+\ln(n+1)-2\ln(n)$$
$$=\sum_{n=2}^{\infty}\ln(n-1)+\sum_{n=2}^{\infty}\ln(n+1)-2\sum_{n=2}^{\infty}\ln(n)$$
$$=(\ln(1)+\ln(2)+\ln(3)+\ldots)+(\ln(3)+\ln(4)+\ldots)+(-2\ln(2)-2\ln(3)+\ldots)$$
$$=(\ln(2)+\ln(3)+\ldots)+(\ln(3)+\ln(4)+\ldots)+(-2\ln(2)-2\ln(3)+\ldots)$$
$$=(\ln(2)+2\ln(3)+2\ln(4)\ldots)+(-2\ln(2)-2\ln(3)+\ldots)=\ln(2)-2\ln(2)=-\ln(2)$$
