Answer
$
f(A)=
\begin{bmatrix}
-4 & 0 \\
8 & 2
\end{bmatrix}
$
Work Step by Step
We plug in the matrix into the polynomial function:
\begin{equation}
f(A) =
\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 4 & 5 \end{bmatrix}^{2} -
5\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 4 & 5 \end{bmatrix} +
2\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix} \\
\end{equation}
\begin{equation}
f(A)
= \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 4 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5\times2 & 5\times0\\ 5\times4 & 5\times5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2\times1 & 2\times0\\ 2\times0 & 2\times1\end{bmatrix} \\
\end{equation}
\begin{equation}
f(A)
= \begin{bmatrix} 2\times2+0\times4 & 2\times0+0\times5\\ 4\times2+5\times4 & 4\times0+5\times5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 10 & 0\\ 20& 25 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{bmatrix} \\
\end{equation}
\begin{equation}
f(A)
= \begin{bmatrix} 4 & 0\\ 28 & 25 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 0\\ 20 & 23 \end{bmatrix}
\end{equation}
$
f(A)=
\begin{bmatrix}
-4 & 0 \\
8 & 2
\end{bmatrix}
$
