Answer
$A^{2}=\left[\begin{array}{llll}
{0}&{0}&{1}&{2}\\
{0}&{0}&{0}&{1}\\
{0}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{0}\end{array}\right]$
$A^{3}=\left[\begin{array}{cccc}
{0}&{0}&{0}&{1}\\
{0}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{0}\end{array}\right]$
$A^{4}=A^{5}=...A^{100}=\left[\begin{array}{cccc}
{0}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{0}\end{array}\right]$
Work Step by Step
$A^{2}=\left[\begin{array}{cccc}
{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+1+0+0)}&{(0+1+1+0)}\\
{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+1+0)}\\
{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}\\
{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}\\
{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}\end{array}\right]$
$=\left[\begin{array}{llll}
{0}&{0}&{1}&{2}\\
{0}&{0}&{0}&{1}\\
{0}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{0}\end{array}\right]$
$A^{3}=\left[\begin{array}{cccc}
{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+1+0+0)}\\
{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}\\
{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}\\
{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}\\
{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}\\
{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}\end{array}\right]$
$=\left[\begin{array}{cccc}
{0}&{0}&{0}&{1}\\
{0}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{0}\end{array}\right]$
$A^{4}=\left[\begin{array}{cccc}
{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}\\
{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}\\
{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}\\
{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}\\
{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}\\
{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}&{(0+0+0+0)}\end{array}\right]$
$=\left[\begin{array}{cccc}
{0}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{0}\end{array}\right]$
Every other matrix $A^{n}, n\geq 4$ is a zero matrix.
Therefore,
$A^{100}=\left[\begin{array}{cccc}
{0}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{0}\end{array}\right]$
