Answer
$y(t)=\frac{3}{16}(1-cos(2t))+\frac{1}{8}t^2$
Work Step by Step
Let $\;\;\;\;\;y=e^{rt}\\\\$
${y}'''+4{y}'=0 \;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\; r^3e^{rt}+4re^{rt}=0\\\\$
$r^3+4r=r(r^2+4)=0 $
$ \rightarrow\;\;\;\;\; r_{1}=0\;\;\;\;\;\;\;or\;\;\;\;,r_{2,3}=\pm 2i\;\;\;\;\\\\$
$\boxed{y_{c}(t)= C_{1}+C_{2}cos(2t)+C_{3}sin(2t)}$
Let; $\;\;\;\;Y(t)=At^2+Bt$ ${Y}'=2At+B$
${Y}''=2A$
${Y}'''=0$
${y}'''+4{y}'=t$
$0+8At+4B=t$
$8At+4B=t \;\;\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;A=\frac{1}{8}\;\;\;,\;\;\;B=0\;\;\;\;\;\;$
$\boxed{Y(t)=\frac{1}{8}t^2}$
The general solution :
$y(t)=y_{c}(t)+Y(t)$
$y(t)=C_{1}+C_{2}cos(2t)+C_{3}sin(2t)+\frac{1}{8}t^2$
$y(0)=C_{1}+C_{2}=0$
${y}'(0)=2C{3}=0 \;\;\;\;\;\;\rightarrow \;\;\;\;C_{3}=0$
${y}''(0)=-4C_{2}+\frac{1}{4}=1\;\;\;\;\;\;\rightarrow \;\;\;\;C_{2}=\frac{-3}{16}$
$C_{1}=\frac{3}{16}\;\;\;\;\;,\;\;\;C_{2}=\frac{-3}{16}\;\;\;\;,\;\;\;\;C_{3}=0$
$y(t)=\frac{3}{16}+\frac{-3}{16}cos(2t)+\frac{1}{8}t^2$
$y(t)=\frac{3}{16}(1-cos(2t))+\frac{1}{8}t^2$
