Answer
$W(e^t,e^{-t},e^{-2t})(t)=-6e^{-2t}$
Work Step by Step
we verify the given functions are the solutions of the differential equation by plugging them into it:
$y=e^t\;\;\;\rightarrow \;\;\;({e^t})'''+2({e^t})''-(e^t)'-2(e^t)=\;e^t+2e^t-e^t-2e^t=0\\\\$
$y=e^{-t}\;\;\;\rightarrow \;\;\;({e^{-t}})'''+2({e^{-t}})''-(e^t{-t})'-2(e^t{-t})=\;-e^t+2e^t+e^t-2e^t=0\\\\$
$y=e^{-2t}\;\;\;\rightarrow \;\;\;({e^{-2t}})'''+2({e^{-2t}})''-(e^t{-2t})'-2(e^t{-2t})=\;-8e^t+8e^t+2e^t-2e^t=0\\\\$
$W(e^t,e^{-t},e^{-2t})(t)=\begin{vmatrix}
e^t & e^{-t} & e^{-2t}\\
({e^t})' & ({e^{-t}})' & ({e^{-2t}})'\\
({e^t})''&({e^{-t}})'' & ({e^{-2t}})''
\end{vmatrix}\;\;=\;\;\begin{vmatrix}
e^t & e^{-t} & e^{-2t}\\
e^t & -e^{-t} & -2e^{-2t}\\
e^t & e^{-t} & 4e^{-2t}
\end{vmatrix}\;\;=$
$e^t\begin{vmatrix}
-e^{-t} & -2e^{-2t} \\
e^{-t} & 4e^{-2t}
\end{vmatrix}\;\;-\;\;e^t\begin{vmatrix}
e^{-t} & e^{-2t} \\
e^{-t} & 4e^{-2t}
\end{vmatrix}\;\;+\;\;e^t\begin{vmatrix}
e^{-t} & e^{-2t} \\
-e^{-t} & -2e^{-2t}
\end{vmatrix}\;\;=$
$e^t(-4e^{-3t}+2e^{-3t})\;\;-\;e^t(4e^{-3t}-e^{-3t})\;\;+\;e^t(-2e^{-3t}+e^{-3t})\;=\\$
$-2e^{-2t}\;-\;6e^{-2t}\;+\;2e^{-2t}\;=\;-6e^{-2t}$
$W(e^t,e^{-t},e^{-2t})(t)=-6e^{-2t}$
