Answer
$\dfrac{1}{2}$
Work Step by Step
$$I= \int_{0}^{\infty} \lim\limits_{b \to \infty} \int_0^b xe^{-x-2y} dx \space dy \\= \int_{0}^{\infty} e^{-2y} \lim\limits_{b \to \infty} [-x e^{-x} -e^{-x}]_0^b \space dy \\=\int_{0}^{\infty} e^{-2y} \lim\limits_{b \to \infty} [-b e^{-b} -e^{-b}+1]\space dy \\=\dfrac{1}{2}\times \lim\limits_{b \to \infty} (-e^{-2b}+1)\\=\dfrac{1}{2}$$
