Answer
$v_{x}=e^{ x e^{y}+y }$
$v_{y}= x e^{ y+x e^{y} }$
$v_{yx}=e^{y+x e^{y}} [x(y_{x}+e^{y} ) +1] $
$v_{xy}=e^{x e^{y}+y} (x e^{y}+1)$
$v_{xx}=e^{x e^{y}+y}(e^{y}+y_{x})$
$v_{yy}=x e^{y+x e^{y}}( 1+x e^{y} )$
Work Step by Step
$v=e^{x e^{y}}$
$ \ln v=\ln e^{x e^{y}}$
$ \ln v= x e^{y} \ln e$
$ \ln v= x e^{y} $
Differentiating with respect to x
$\frac{ ∂}{∂ x} \ln v= \frac{ ∂}{∂ x} x e^{y}$
$\frac{ ∂}{∂ v} \ln v \frac{ ∂v}{∂ x} = e^{y} \frac{ ∂}{∂ x} x $
$\frac{1}{v} \frac{ ∂v}{∂ x} = e^{y} $
$ \frac{ ∂v}{∂ x} = v e^{y} = e^{x e^{y}} e^{y} $
$v_{x}= e^{xe^{y}+y}$
Similarly, differentiating with respect to y
$ \ln v= x e^{y} $
$\frac{ ∂}{∂ y} \ln v= \frac{ ∂}{∂ y} x e^{y}$
$\frac{ ∂}{∂ v} \ln v \frac{ ∂v}{∂ y} = x \frac{ ∂}{∂ y} e^{y} $
$\frac{1}{v} \frac{ ∂v}{∂ y} = xe^{y} $
$ \frac{ ∂v}{∂ y} = vx e^{y} =x e^{x e^{y}} e^{y} $
$v_{y}=xe^{xe^{y}+y}$
$v_{yx}= \frac{ ∂ }{∂x}( xe^{xe^{y}+y} )$
$v_{yx}= x\frac{ ∂ }{∂x}( e^{xe^{y}+y} )+ e^{xe^{y}+y} $
$v_{yx}= x( e^{xe^{y}+y} ) \frac{ ∂ }{∂x} (x e^{y}+y) + e^{xe^{y}+y} $
$v_{yx}= x( e^{xe^{y}+y} ) \frac{ ∂ }{∂x} (x e^{y}+y ) + e^{xe^{y}+y} $
$v_{yx}= x( e^{xe^{y}+y} ) [\frac{ ∂ }{∂x} (x e^{y})+ \frac{ ∂ y}{∂x} ] + e^{xe^{y}+y} $
$v_{yx}= x( e^{xe^{y}+y} ) [ e^{y} \frac{ ∂ }{∂x} (x)+ \frac{ ∂ y}{∂x} ] + e^{xe^{y}+y} $
$v_{yx}= x( e^{xe^{y}+y} ) [ e^{y} + \frac{ ∂ y}{∂x} ] + e^{xe^{y}+y} $
$v_{yx}=e^{x e^{y}+y}[x( e^{y}+y_{x} )+1] $
$v_{xy}= \frac{ ∂ }{ ∂y}( e^{xe^{y}+y })$
$v_{xy}= ( e^{xe^{y}+y }) \frac{ ∂ }{ ∂y} (xe^{y}+y) $
$v_{xy}= ( e^{xe^{y}+y }) [\frac{ ∂ }{ ∂y} (xe^{y})+ \frac{ ∂y }{ ∂y} ] $
$v_{xy}= ( e^{xe^{y}+y }) [ x\frac{ ∂ }{ ∂y} (e^{y})+ \frac{ ∂y }{ ∂y} ] $
$v_{xy}= ( e^{xe^{y}+y }) [ xe^{y}+ 1] $
$v_{xx}= \frac{∂ }{ ∂x }( e^{xe^{y}+y} )$
$v_{xx}=( e^{xe^{y}+y} \frac{∂ }{ ∂x } (xe^{y}+y) )$
$v_{xx}=( e^{xe^{y}+y} [ \frac{∂ }{ ∂x } (xe^{y})+ \frac{∂ }{ ∂x } y]$
$v_{xx}=( e^{xe^{y}+y} [ e^{y}\frac{∂ }{ ∂x } (x)+ \frac{∂ y }{ ∂x } ]$
$v_{xx}=( e^{xe^{y}+y} [ e^{y}+ \frac{∂ y }{ ∂x } ]$
$v_{xx}=( e^{xe^{y}+y} [ e^{y}+ y_{x} ]$
$v_{yy}= \frac{∂ }{ ∂y} ( xe^{xe^{y}+y} )$
$v_{yy}= x \frac{∂ }{ ∂y} ( e^{xe^{y}+y} )$
$v_{yy}= x ( e^{xe^{y}+y} ) \frac{∂ }{ ∂y} (xe^{y}+y) $
$v_{yy}= x ( e^{xe^{y}+y} ) [\frac{∂ }{ ∂y} (xe^{y})+ \frac{∂y }{ ∂y} ] $
$v_{yy}= x ( e^{xe^{y}+y} ) [x\frac{∂ }{ ∂y} (e^{y})+1 ] $
$v_{yy}= x ( e^{xe^{y}+y} ) [x e^{y}+1 ] $
