Answer
$\dfrac{1}{2}$; Converges
Work Step by Step
We need to use formula: $\int_0^{+\infty} e^{-x} \cos dx=\lim\limits_{M \to +\infty}\int_a^{M} f(x) \ dx$
Therefore, $\int_0^{\infty}e^{-x} \cos x dx=\lim\limits_{M \to +\infty}\int_0^{M} e^{-x} \cos x dx=e^{-x} \sin x +\int e^{-x} \sin x dx\\=e^{-x} \sin x -e^{-x} \cos x -\int e^{-x} \cos x dx$
This implies that $2 \int e^{-x} \cos x dx=e^{-x} \sin x -e^{-x} \cos x +C$
or, $ \int e^{-x} \cos x dx=\dfrac{1}{2} e^{-x} \sin x - \dfrac{1}{2}e^{-x} \cos x +C$
Now, we will evaluate the limits .
$\lim\limits_{M \to +\infty} [\int e^{-x} \cos x dx ]=\lim\limits_{M \to +\infty}[\dfrac{1}{2} e^{-x} \sin x - \dfrac{1}{2}e^{-x} \cos x +C ]_0^M=- \dfrac{1}{2}e^{-\infty} \sin M- \dfrac{1}{2}e^{-\infty} \cos M\\=\dfrac{1}{2}$
This shows that the improper integral converges .
