Answer
$$ - \frac{1}{3}x\cos 3x + \frac{1}{9}\sin 3x + C$$
Work Step by Step
$$\eqalign{
& \int {x\sin 3x} dx \cr
& {\text{substitute }}u = x,{\text{ }}du = dx \cr
& dv = \sin 3xdx,{\text{ }}v = - \frac{1}{3}\cos 3x \cr
& {\text{ integration by parts}} \cr
& \int {udv} = uv - \int {vdu} \cr
& {\text{, we have}} \cr
& \int {x\sin 3x} dx = - \frac{1}{3}x\cos 3x - \int {\left( { - \frac{1}{3}\cos 3x} \right)dx} \cr
& \int {x\sin 3x} dx = - \frac{1}{3}x\cos 3x + \frac{1}{3}\int {\cos 3xdx} \cr
& {\text{find antiderivative}} \cr
& \int {x\sin 3x} dx = - \frac{1}{3}x\cos 3x + \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{3}\sin 3x} \right) + C \cr
& \int {x\sin 3x} dx = - \frac{1}{3}x\cos 3x + \frac{1}{9}\sin 3x + C \cr} $$
