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a) $A^{2}=A\cdot A=\begin{bmatrix}1& 0\\1 & 0\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}1& 0\\1 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1& 0\\0 & 1\end{bmatrix}=I_2$
b) Let $M=\begin{bmatrix}A& I_2 \\I_2 &-A\end{bmatrix}$
$M^{2}=\begin{bmatrix}A& I_2 \\I_2 &-A\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}A& I_2 \\I_2 &-A\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}A^2& O_2 \\O_2 &-A^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I_2& O_2 \\O_2 &I_2\end{bmatrix}=I_4$
