Answer
See below
Work Step by Step
1. Find eigenvalues:
(A-$\lambda$I)$\vec{V}$=$\vec{0}$
$\begin{bmatrix} 3-\lambda & 0\\ 16 & 1-\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 3-\lambda & 0\\ 16 & 1-\lambda \end{bmatrix}=0$
$(3- \lambda)(1-\lambda)-16=0$
$\lambda_1=3, \lambda_2=-1$
2. Find eigenvectors:
For $\lambda=3$
let $B=A-\lambda_1I$
$B=\begin{bmatrix} 3-\lambda & 0\\ 16 & 1-\lambda
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 16 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \\$
Let $r$ be a free variable.
$\vec{V}=r(1,4) \\
E_1=\{(1,4)\} \\
\rightarrow dim(E_2)=1$
The eigenvectors span $\{1,4)\}$ in $R$
For $\lambda=-1$
let $B=A-\lambda_1I$
$B=\begin{bmatrix} 3-\lambda & 0\\ 16 & 1-\lambda \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 16 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \\$
Let $s$ be a free variable.
$\vec{V}=s(0,1) \\
E_1=\{(0,1)\} \\
\rightarrow dim(E_2)=1$
The eigenvectors span $\{0,1)\}$ in $R$
Hence, $S=\frac{1}{\sqrt 13}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 4 & 1 \end{bmatrix} \\
\rightarrow S^{-1}AS=D=\begin{bmatrix} 3 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} $
