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1. Find eigenvalues:
(A-$\lambda$I)$\vec{V}$=$\vec{0}$
$\begin{bmatrix} -2\lambda & 0 & 0 \\ 1 & -3-\lambda & -1\\ -1 & 1 & -1-\lambda\end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \\0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} -2\lambda & 0 & 0 \\ 1 & -3-\lambda & -1\\ -1 & 1 & -1-\lambda\end{bmatrix}=0$
$(-2+\lambda+1)^3=0$
$\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=-2$
2. Find eigenvectors:
For $\lambda=-2$
let $B=A-\lambda_1I$
$B=\begin{bmatrix} -2-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & -3-\lambda & -1\\ -1 & 1 & -1-\lambda\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -1\\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \\0 \end{bmatrix} $
Let $r,s,t$ be free variables.
$\vec{V}=r(0,1,-1)+s(0,1,-1)+t(1,1,0)\\
E_1=\{(0,1,-1);(0,1,-1);(1,1,0)\} \\
\rightarrow dim(E_2)=3$
Hence, $S=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} $
We have $x=Sy \rightarrow x'=Ax \rightarrow y'=\begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 &0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}y $
then $y_1=c_1e^{-2t}+c_2te^{-2t}\\
y_2=c_2e^{-2t}\\
y_3=c_3e^{-2t}$
Hence,
$x(t)=S.y(t)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1e^{-2t}+c_2te^{-2t}\\ c_2e^{-2t} \\ c_3e^{-2t} \end{bmatrix} \\
=\begin{bmatrix} c_2e^{-2t}+c_3e^{-2t} \\ c_1e^{-2t}+c_2te^{-2t}+c_3e^{-2t} \\ -c_1e^{-2t}-c_2te^{-2t} \end{bmatrix} $
