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We are given: $A=\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
2 & 4\\
4 & 8\\
8 & 16
\end{bmatrix}$
Since $T(X)=A(x)$ $\rightarrow ker T=\{x \in R^2:T(x)=0\}\\
=\{x\in R^2: A(x)=0\}$
a) $x=(-10,5)$
we obtain: $\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
2 & 4\\
4 & 8\\
8 & 16
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-10 \\
5
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}\\
\rightarrow x \in Ker T$
a) $x=(1,-1)$
we obtain: $\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
2 & 4\\
4 & 8\\
8 & 16
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 \\
-1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1\\
-2\\
-4\\
-8
\end{bmatrix} \ne\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}\\
\rightarrow x \notin Ker T$
c) $x=(2,-1)$
we obtain: $\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
2 & 4\\
4 & 8\\
8 & 16
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2 \\
-1
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
0\\
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}\\
\rightarrow x \in Ker T$
