Answer
No.
Work Step by Step
$\begin{bmatrix}
0& 0& 1 \\
0&1&0\\
1&0&0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
0& 0& 1 \\
0&1&0\\
1&0&0
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
0\cdot0+0\cdot0+1\cdot1& 0\cdot0+0\cdot1+1\cdot0 & 0\cdot1+0\cdot0+1\cdot0 \\
0\cdot0+1\cdot0+0\cdot1& 0\cdot0+1\cdot1+0\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot0+0\cdot0\\
1\cdot0+0\cdot0+0\cdot1& 1\cdot0+0\cdot1+0\cdot0 & 1\cdot1+0\cdot0+0\cdot0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1& 0& 0 \\
0&1&0\\
0&0&1
\end{bmatrix}$
We see that $A^2\ne A$.
Thus the answer is no.