Answer
1
Work Step by Step
$i^{1000}$
Break it down into $(i^{2})^{x}$ since $(i^{2} = -1)$ we start with $(-1)*i^{500}$
$(-1)*i^{500}$
$(-1)(-1)*i^{250}$
$(-1)(-1)(-1)*i^{125}$
now 125 is not divisible by 2 so lets set aside an i and make it $(i*i^{124})$
$i*(-1)(-1)(-1)*i^{124}$
$i*(-1)(-1)(-1)(-1)*i^{62}$
$i*(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)*i^{31}$
$i*i*(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)*i^{30}$
$i*i*(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)*i^{15}$
$i*i*i*(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)*i^{15}$
$i*i*i*i*(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)*i^{14}$
$i*i*i*i*(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)*i^{7}$
$i*i*i*i*i*(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)*i^{6}$
$i*i*i*i*i*(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)*i^{3}$
$i*i*i*i*i*i*(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)*i^{2}$
$i*i*i*i*i*i*(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)$
Remember (i*i) = (-1) so we can combine the remaining i's
$(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)$
Then combined the (-1)'s
and you end up with the answer of positive 1.
