Answer
$\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=-\dfrac{2}{3}$
$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=\infty$
Work Step by Step
We are given the function:
$f(x)=4x(3x-\sqrt{9x^2+1})$
Determine $\lim\limits_{x \to \infty} f(x)$:
$\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=\lim\limits_{x \to \infty} 4x(3x-\sqrt{9x^2+1})$
$=\lim\limits_{x \to \infty} 4x(3x-\sqrt{9x^2+1})\cdot\dfrac{3x+\sqrt{9x^2+1}}{3x+\sqrt{9x^2+1}}$
$=\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{4x(9x^2-9x^2-1)}{3x+\sqrt{9x^2+1}}$
$=\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{-4x}{3x+\sqrt{9x^2+1}}$
$=-\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{4x}{x}}{\dfrac{3x+\sqrt{9x^2+1}}{x}}$
$=-\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{4}{\dfrac{3x}{x}+\dfrac{\sqrt{9x^2+1}}{x}}$
$=-\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{4}{3+\sqrt{\dfrac{9x^2+1}{x^2}}}$
$=-\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{4}{3+\sqrt{\dfrac{9x^2}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}}}$
$=-\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{4}{3+\sqrt{9+\dfrac{1}{x^2}}}$
$=-\dfrac{4}{3+3}$
$=-\dfrac{4}{6}=-\dfrac{2}{3}$
Determine $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$:
$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=\lim\limits_{x \to -\infty} 4x(3x-\sqrt{9x^2+1})$
$=\lim\limits_{x \to -\infty} 4x(3x-\sqrt{9x^2+1})\cdot\dfrac{3x+\sqrt{9x^2+1}}{3x+\sqrt{9x^2+1}}$
$=\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{4x(9x^2-9x^2-1)}{3x+\sqrt{9x^2+1}}$
$=\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{-4x}{3x+\sqrt{9x^2+1}}$
$=-\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{\dfrac{4x}{x}}{\dfrac{3x+\sqrt{9x^2+1}}{x}}$
$=-\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{4}{\dfrac{3x}{x}+\dfrac{\sqrt{9x^2+1}}{x}}$
$=-\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{4}{3-\sqrt{\dfrac{9x^2+1}{x^2}}}$
$=-\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{4}{3-\sqrt{\dfrac{9x^2}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}}}$
$=-\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{4}{3-\sqrt{9+\dfrac{1}{x^2}}}$
$=-\dfrac{4}{3-3}$
$=\infty$
