Answer
No solution in $\mathbb{Z}_{6}$.
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The elements of $\;\mathbb{Z}_{6}\;$ are 0,1,2,3,4,5
So, if there is a solution for this equation, then x is one of these numbers.
$If \;\;x=0\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3.(0)=4 \;\;\; {\color{Red}\rightarrow } \;\;\;\;\;\; 0\neq 4\\
so \;\;0 \;is \;not \;solution\\\\
If \;x=1\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3.(1)=4\;\; {\color{Red}\rightarrow } \;\;\; 3\neq 4\\
so\; 1\; is\; not\; solution.\\\\
If\;x=2\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3.(2)=4 \;\;\;\;{\color{Red}\rightarrow }\;\;\;\; 0\neq 4\\
so\; 2\; is\;not\; solution\\\\
If \;x=3\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3.(3)=4 \;\;\;{\color{Red}\rightarrow } \;\;\;\; 3\neq 4\\
so\; 3\; is\; not\; solution\\\\
If\; x=4\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3.(4)=4 \;\;\;{\color{Red}\rightarrow } \;\;\;0\neq 4\\
so\; 4 \;is\; not\; solution\\\\
If\; x=5\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3.(5)=4 \;\;\;{\color{Red}\rightarrow } \;\;\;3\neq 4\\
so\; 5 \;is\; not\; solution\\\\$
there is no solution in $\mathbb{Z}_{6}$.
