Answer
$r$ $=$ $h$
Work Step by Step
$ Let$ $the$ $radius$ $of$ $the$ $hemisphere$ $be$ $:$ $r$
$ Let$ $the$ $height$ $of$ $the$ $cylinder$ $be$ $:$ $h$
$Volume$ $of$ $the$ $hemisphere$ $:$ $\frac{2}{3}$$\pi$$r^{3}$
$Volume$ $of$ $the$ $cylinder$ $:$ $\pi$$r^{2}$$h$
$Use$ $V$ $denote$ $the$ $total$ $volume$ $:$
$V$ $=$ $\pi$$r^{2}$$h$ $+$ $\frac{2}{3}$$\pi$$r^{3}$
$h$ $=$ $\frac{V-\frac{2}{3}\pi r^{3}}{\pi r^{2}}$ $=$ $\frac{V}{\pi r^{2}}$ $-$ $\frac{2r}{3}$
$the$ $surface$ $area$ $of$ $the$ $hemisphere$ $:$ $2\pi r^{2}$
$the$ $surface$ $area$ $of$ $the$ $cylinder$ $with$ $base$ $:$ $2\pi rh$ $+$ $\pi r^{2}$
$Use$ $S$ $denote$ $the$ $total$ $surface$ $area$ $:$
$S$ $=$ $2\pi r h$ $+$ $3\pi r^{2}$
$h$ $=$ $\frac{V}{\pi r^{2}}$ $-$ $\frac{2r}{3}$
$S$ $=$ $2\pi r$ $($ $\frac{V}{\pi r^{2}}$ $-$ $\frac{2r}{3}$ $)$ $+$ $3$$\pi$$r^{2}$
$=$ $\frac{2V}{r}$ $+$ $\frac{5\pi r^{2}}{3}$ $,$ $r$ $\ne$ $0$
$S'$ $=$ $-$ $\frac{2V}{r^{2}}$ $+$ $\frac{10 \pi r}{3}$
$Let$ $S'$ $=$ $0$
$r$ $=$ $\sqrt[3] \frac{3V}{5\pi}$
$Since$ $S'$ $\lt$ $0$ $when$ $r$ $\lt$ $\sqrt[3] \frac{3V}{5\pi}$
$S'$ $\gt$ $0$ $when$ $r$ $\gt$ $\sqrt[3] \frac{3V}{5\pi}$
$Therefore$ $S$ $has$ $an$ $absolute$ $minimum$
$at$ $r$ $=$ $\sqrt[3] \frac{3V}{5\pi}$
$V$ $=$ $\pi$$r^{2}$$h$ $+$ $\frac{2}{3}$$\pi$$r^{3}$
$r$ $=$ $\sqrt[3] \frac{3V}{5\pi}$
$r^{3}$ $=$ $\frac{3V}{5\pi}$
$r^{3}$ $=$ $\frac{3(\pi r^{2}h+ \frac{2}{3} \pi r^{3})}{5\pi}$
$r^{3}$ $=$ $\frac{3}{5}$$r^{2}$$h$ $+$ $\frac{2}{5}$$r^{3}$
$Each$ $side$ $divide$ $r^{2}$
$r$ $=$ $\frac{3}{5}$$h$ $+$ $\frac{2}{5}$$r$
$r$ $=$ $h$
$So$ $for$ $the$ $least$ $amount$ $of$ $the$ $metal$ $.$
$r$ $=$ $h$
