Answer
Assuming B is a square matrix,
$\mathrm{X}=-\mathrm{B}^{-1}\mathrm{A}$
$\mathrm{Y}=\mathrm{B}^{-1}$
$\mathrm{C}=\mathrm{Z}$
Work Step by Step
$\left[\begin{array}{ll}
\mathrm{A} & \mathrm{B}\\
\mathrm{C} & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
\mathrm{I} & 0\\
\mathrm{X} & \mathrm{Y}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
\mathrm{A}\mathrm{I}+\mathrm{B}\mathrm{X} & \mathrm{A}0+\mathrm{B}\mathrm{Y}\\
\mathrm{C}\mathrm{I}+0\mathrm{X} & \mathrm{C}0+0\mathrm{Y}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
\mathrm{A}+\mathrm{B}\mathrm{X} & \mathrm{B}\mathrm{Y}\\
\mathrm{C} & 0
\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{ll}
\mathrm{A}+\mathrm{B}\mathrm{X} & \mathrm{B}\mathrm{Y}\\
\mathrm{C} & 0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
0 & \mathrm{I}\\
\mathrm{Z} & 0
\end{array}\right]\Rightarrow\left\{\begin{array}{ll}
\mathrm{A}+\mathrm{B}\mathrm{X}=0 & (1,1)\\
\mathrm{B}\mathrm{Y}=\mathrm{I} & (1,2)\\
\mathrm{C}=\mathrm{Z} & (2,1)\\
0=0 & (2,2)
\end{array}\right.$
From $(1,2)$, assume that B and Y are square,
so by the IMT (j and k), they are invertible, and $\mathrm{Y}=\mathrm{B}^{-1}$.
Use this in (1,1) to express $\mathrm{X}$:
$\mathrm{B}\mathrm{X}=-\mathrm{A}$
$\mathrm{B}^{-1}\mathrm{B}\mathrm{X}=\mathrm{B}^{-1}(-\mathrm{A})$
$\mathrm{X}=-\mathrm{B}^{-1}\mathrm{A}$
