Answer
$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(0)}{g'(0)}$
Work Step by Step
$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to 0}f(x)}{\lim\limits_{x \to 0}g(x)}$
$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to 0}f(x)-0}{\lim\limits_{x \to 0}g(x)-0}$
$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to 0}f(x)-f(0)}{\lim\limits_{x \to 0}g(x)-g(0)}$
$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}}{\lim\limits_{x \to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}}$
$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(0)}{g'(0)}$