Answer
$${x^2}{e^x} - 2x{e^x} + 2{e^x} + C$$
Work Step by Step
$$\eqalign{
& \int {{x^2}{e^x}} dx \cr
& {\text{substitute }}u = {x^2},{\text{ }}du = 2xdx \cr
& dv = {e^x},{\text{ }}v = {e^x} \cr
& {\text{ integration by parts}}{\text{, we have}} \cr
& \int {{x^2}{e^x}} dx = {x^2}{e^x} - \int {\left( {{e^x}} \right)\left( {2xdx} \right)} \cr
& \int {{x^2}{e^x}} dx = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx} \cr
& {\text{substitute }}u = x,{\text{ }}du = dx \cr
& dv = {e^x},{\text{ }}v = {e^x} \cr
& {\text{ integration by parts}}{\text{, we have}} \cr
& \int {{x^2}{e^x}} dx = {x^2}{e^x} - 2\left( {x{e^x} - \int {{e^x}dx} } \right) \cr
& {\text{integrating}} \cr
& \int {{x^2}{e^x}} dx = {x^2}{e^x} - 2\left( {x{e^x} - {e^x}} \right) + C \cr
& \int {{x^2}{e^x}} dx = {x^2}{e^x} - 2x{e^x} + 2{e^x} + C \cr} $$
