Answer
$\lambda=1$: $\begin{bmatrix}
0\\
1\\
0
\end{bmatrix}$, $\lambda=2$: $\begin{bmatrix}
-1\\
2\\
2
\end{bmatrix}$, $\lambda=3$: $\begin{bmatrix}
-1\\
1\\
1
\end{bmatrix}$
Work Step by Step
We can find the basis for the eigenspace by finding the basis for the null space of the matrices $(A-I)x=0$, $(A-2I)x=0$, and $(A-3I)x=0$.
$(A-I)=\begin{bmatrix}
3&0&1\\
-2&0&0\\
-2&0&0
\end{bmatrix}$~$\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{bmatrix}$
For, $\lambda=1$: $\begin{bmatrix}
0\\
1\\
0
\end{bmatrix}$
$(A-2I)=\begin{bmatrix}
2&0&1\\
-2&-1&0\\
-2&0&-1
\end{bmatrix}$~$\begin{bmatrix}
2&1&0\\
0&-1&1\\
0&0&0
\end{bmatrix}$
For, $\lambda=2$: $\begin{bmatrix}
-1\\
2\\
2
\end{bmatrix}$
$(A-3I)=\begin{bmatrix}
1&0&1\\
-2&-2&0\\
-2&0&-2
\end{bmatrix}$~$\begin{bmatrix}
1&0&1\\
0&1&-1\\
0&0&0
\end{bmatrix}$
For, $\lambda=3$: $\begin{bmatrix}
-1\\
1\\
1
\end{bmatrix}$
