Answer
$cos(\frac{A}{2})=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{6}}$
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Note$\;\;\;\;\;\;\;sinA=\frac{2}{3}\;\;\;;\;\;\;\;0^o\leq A\leq 90^o$
$sin^2(A)+cos^2(A)=1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ and $sin(A)=\frac{2}{3}$
$(\frac{2}{3})^2+cos^2(A)=1$
$cos^2(A)=\frac{5}{9}$
$cos(A)=\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$
We know $0^o\leq A\leq 90^o$
$cos(A)=\frac{\sqrt{5}}{3}$
$cos(\frac{A}{2})=\pm \sqrt{\frac{1+cos(A)}{2}}$
$cos(\frac{A}{2})=\pm \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{5}}{3}}{2}}=\pm \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{6}}$
We know $0^o\leq A\leq 90^o\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;so\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0^o\leq \frac{A}{2} \leq 45^o $
$cos(\frac{A}{2})=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{6}}$
