Answer
$\theta=\{60^o,180^o,300^o\}$
Work Step by Step
$2cos(\theta)+1=sec(\theta)$
$2cos(\theta)+1-sec(\theta)=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$
$2cos(\theta)+1-\frac{1}{cos(\theta)}=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ Multiply each side by $cos(\theta)$
$2cos^2(\theta)+cos(\theta)-1=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$
$cos(\theta)=\frac{-(1)\pm \sqrt{(1)^2-(4.2.(-1))}}{2.2}=-1,\frac{1}{2}$
$cos(\theta)=-1$
$\theta= cos^{-1}(1)$
$\theta=180^o\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$
$cos(\theta)=\frac{1}{2}$
$\theta=cos^{-1}(\frac{1}{2})$
We know $ cos(\theta) $ is positive in quadrant $I$ and quadrant $IV$
$\theta=60^o\;\;\;\;\;\;\;\;or\;\;\;\;\;\;\;\;\theta=360^o-60^o=300^o$
$\theta=60^o\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;or\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\theta=300^o$
$\theta=\{60^o,180^o,300^o\}$