Answer
$\lim\limits_{x \to \infty}x^{e^{-x}} = 1$
Work Step by Step
$\lim\limits_{x \to \infty}x^{e^{-x}}=\lim\limits_{x \to \infty}(e^{ln~x})^{e^{-x}}=\lim\limits_{x \to \infty}e^{ln~x/e^x}$
$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{ln~x}{e^x} = \lim\limits_{x \to \infty}\frac{(1/x)}{e^x} = 0$
Therefore:
$\lim\limits_{x \to \infty}e^{ln~x/e^x} = e^0 = 1$
