Answer
(a) $n^4$
(b) $5^{100}-1$
(c) $\frac{97}{300}$
(d) $a_n-a_0$
Work Step by Step
(a) $\sum_{i=1}^{n}[i^4-(i-1)^4]$
$=(1^4-0^4)+(2^4-1^4)+(3^4-2^4)+...+[n^4-(n-1)^4]$
$ = n^4-0^4$
$= n^4$
(b) $\sum_{i=1}^{100}(5^i-5^{i-1})$
$=(5^1-5^0)+(5^2-5^1)+(5^3-5^2)+...+(5^{100}-5^{99})$
$ = 5^{100}-5^0$
$= 5^{100}-1$
(c) $\sum_{i=3}^{99}(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1})$
$=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+...+(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})$
$ = (\frac{1}{3}-\frac{1}{100})$
$ = (\frac{100}{300}-\frac{3}{300})$
$= \frac{97}{300}$
(d) $\sum_{i=1}^{n}(a_i-a_{i-1})$
$=(a_1-a_0)+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+...+(a_n-a_{n-1})$
$ = a_n-a_0$
