Answer
$-\ln (3)$
Work Step by Step
$\lim\limits_{n \to \infty} [\ln (n^3+1)-\ln (3n^3+10n)]=\lim\limits_{n \to \infty} \ln \dfrac{n^3+1}{3n^3+10n}$
or, $=\lim\limits_{n \to \infty} \ln \dfrac{1+1/n^3}{3+10/n^2}$
or, $=\ln \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1+1/n^3}{3+10/n^2}$
or, $=\ln (\dfrac{1}{3})$
or, $=\ln (1)-\ln (3)$
or, $=0-\ln (3)$
or, $=-\ln (3)$
