Answer
$\begin{bmatrix}
151/16&90/16\\
-225/16&-134/16
\end{bmatrix}$
Work Step by Step
$A=PDP^{-1}$, so $A^4=PD^4P^{-1}=\begin{bmatrix}
2&-3\\-3&5
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1&0\\0&1/16
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
5&3\\3&2
\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}
2&-3\\-3&5
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
5&3\\3/16&2/16
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
151/16&90/16\\
-225/16&-134/16
\end{bmatrix}$
