Answer
$ABC$ is an invertible matrix.
Work Step by Step
Let $A$,$B$, and $C$ be invertible $n$$\times$$n$ matrices.
Let $D=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$
$(ABC)D$=$(ABC)(C^{-1}B^{-1}A^{-1})$
$(ABC)D$=$(AB)(CC^{-1})(B^{-1}A^{-1})$
$(ABC)D$=$(AB)(I)(B^{-1}A^{-1})$
$(ABC)D$=$(AB)(B^{-1}A^{-1})$
$(ABC)D$=$(A)(BB^{-1})(A^{-1})$
$(ABC)D$=$(A)(A^{-1})$
$(ABC)D$=$I$
$D(ABC)$=$(C^{-1}B^{-1}A^{-1})(ABC)$
$D(ABC)$=$C^{-1}B^{-1}(A^{-1}A)BC$
$D(ABC)$=$C^{-1}B^{-1}IBC$
$D(ABC)$=$C^{-1}B^{-1}BC$
$D(ABC)$=$C^{-1}(B^{-1}B)C$
$D(ABC)$=$C^{-1}IC$
$D(ABC)$=$C^{-1}C$
$D(ABC)$=$I$
Since $(ABC)D$=$I$ and $D(ABC)$=$I$, $ABC$ is invertible.
